Olitpa ajoituksen tarkistaa, kuinka nopeasti voit täyttää kahvinkeittimen tai yksinkertaisesti laskea askeleet bussipysäkille aamulla, arjen elämän monotoniossa on jotain, joka saa meidät yrittämään muuttaa peliksi. Preussin Konigsbergin kaupungin asukkaat 1800-luvulla (kuten tiedätte, tämä on Kaliningrad) olivat samoja kuin me kaikki. Juuri peli, jota he pelasivat seitsemän sillan kanssa kaupungissa, herätti eräänä päivänä ihmiskunnan historian suurimman matemaatikon kiinnostuksen.
Konigsberg rakennettiin Pregel (Pregolya) -joen rannoille, joka jakoi kaupungin neljään erilliseen asuinalueeseen. Ihmiset siirtyivät alueelta toiselle seitsemän eri sillan kautta. Legendan mukaan suosittu harrastus sunnuntain kävelyjen aikana oli yrittää ylittää koko kaupunki ylittääksesi jokaisen sillan vain kerran. Kukaan ei ole keksinyt, miten tämä tehdään, mutta tämä ei tarkoita, että ongelmalla ei olisi ratkaisua. Heidän oli vain mentävä oikeaan asiantuntijaan tuntemaan hänet.
Vuonna 1735 Danzigin (nykyään Puolan Gdansk) kaupunginjohtaja, joka sijaitsee 120 km Konigsbergistä länteen, Karl Leonard Gottlieb Ehler kirjoitti Leonard Eulerille kirjeellä, jossa hän pyysi apua tämän ongelman ratkaisemiseksi paikallisen matematiikan professorin nimeltä Henry. Kuehn. Silloinkin, Euler oli kuuluisa ja erittäin menestyvä matemaatikko - hän julkaisi ensimmäisen kirjansa vuoden kuluessa kirjeestä ja kirjoitti koko elämässään yli 500 kirjaa ja artikkelia.
Siksi ei ole yllättävää, että aluksi Euler ajatteli, että tämän ongelman ratkaiseminen oli hänen ihmisarvonsa alla, ja kirjoitti vastauksena: pyyntö matemaatikolle, ei jollekin toiselle, koska päätös perustuu vain järkevyyteen eikä ole riippuvainen mistään tunnetuista matemaattisista periaatteista."
Lopulta Ehler ja Kühn onnistuivat kuitenkin vakuuttamaan Eulerin, ja hän tajusi, että tämä oli täysin uudenlainen matematiikka - "asemien geometria", joka nykyään tunnetaan topologiana. Topologiassa objektin tarkalla muodolla tai sijainnilla ei ole merkitystä. On jopa vanha vitsi, että topologi ei osaa kertoa donitsin ja kahvikupin eroa, koska molemmissa kohteissa on täsmälleen yksi reikä. Siihen asti tästä täysin uudesta matematiikan alueesta oli vain kirjoitettu, mutta kukaan ei vielä ymmärtänyt, mitä ongelmia se voi ratkaista. Seitsemän Konigsbergin siltaa olivat erinomainen kokeellinen vahvistus uudesta teoriasta, koska ongelma ei vaatinut mittauksia tai tarkkoja laskelmia. Voit muuttaa monimutkaisen kaupungin kartan yksinkertaiseksi ja ymmärrettäväksi kuvaajaksi (kaavio) menettämättä tärkeitä tietoja.
Vaikka ihmisellä voi olla houkutus ratkaista tämä ongelma kartoittamalla kaikki mahdolliset reitit kaupungin läpi, Euler huomasi heti, että tämä strategia vie liian kauan eikä se toimi muiden vastaavien ongelmien kanssa (entä jos olisi, esimerkiksi, kaksitoista sillat?). Sen sijaan hän päätti väliaikaisesti kiinnittää huomiota siltoihin ja merkitsi maa-alueet kirjaimilla A, B, C ja D. Siten hän pystyi nyt kuvailemaan sillan kautta tapahtuvaa matkaa alueelta A alueelle B nimellä AB ja matkaa alueelta A alueen B kautta. D kuin ABD. Tässä on tärkeää huomata, että reittikuvauksessa olevien kirjainten lukumäärä on aina yksi enemmän kuin ylitettyjen siltojen lukumäärä. Siten reitti AB ylittää yhden sillan ja reitti ABD ylittää kaksi siltaa ja niin edelleen. Euler tajusi, että koska Konigsbergissa on seitsemän siltaa, ylittää ne kaikki,reitin tulee koostua kahdeksasta kirjaimesta, mikä tarkoittaa, että tehtävän ratkaisu vaatii tarkalleen kahdeksan kirjainta.
Sitten hän keksi yleisemmän säännön entistä yksinkertaisemmalla kaavalla. Jos sinulla olisi ollut vain kaksi maalla sijaitsevaa osaa A ja B ja ylittäisit sillan kerran, osa A voisi olla missä matka alkoi tai missä se päättyi, mutta olisit osassa A vain kerran. Jos ylität sillat a, b ja c kerran, olisit osiossa A tarkalleen kahdesti. Tämä johti käytännölliseen sääntöyn: jos sinulla on parillinen määrä siltoja, jotka johtavat yhdelle maalle, sinun on lisättävä yksi siihen numeroon ja jaettava sitten summa kahdella saadaksesi selville, kuinka monta kertaa tätä osaa tulisi käyttää matkan aikana. (tässä esimerkissä lisäämällä yksi siltojen lukumäärään, toisin sanoen kolmeen, saadaan neljä ja jakamalla neljä kahdella, saadaan kaksi,toisin sanoen, kohta A) ylitetään tarkalleen kahdesti matkan aikana.
Mainosvideo:
Tämä tulos palautti Eulerin alkuperäiseen ongelmaansa. On viisi siltaa, jotka johtavat osaan A, joten hänen etsimänsä kahdeksan kirjaimen ratkaisu on ylitettävä kolme kertaa. Osilla B, C ja D on kaksi siltaa, jotka johtavat niihin, joten molemmat on ylitettävä kahdesti. Mutta 3 + 2 + 2 + 2 on 9, ei 8, vaikka olosuhteiden mukaan sinun on kuljettava vain 8 osiota ja ylitettävä 7 siltaa. Tämä tarkoittaa, että on mahdotonta mennä läpi koko Königsbergin kaupungin käyttämällä kutakin siltaa tarkalleen kerran. Toisin sanoen tässä tapauksessa ongelmalle ei ole ratkaisua.
Kuten kukaan todellinen matemaatikko, Euler ei kuitenkaan pysähtynyt siihen. Hän jatkoi työskentelyään ja loi yleisemmän säännön muille kaupungeille, joilla oli erilainen siltojen määrä. Jos kaupungissa on pariton määrä siltoja, niin on olemassa yksinkertainen tapa selvittää, voitko tehdä tällaisen matkan vai ei: jos kunkin maamerkkiä osoittavan kirjaimen esiintymisten lukumäärä on yksi enemmän kuin siltojen lukumäärä (kuten esimerkiksi kahdeksan kirjaimen ratkaisussa, noin) aikaisemmin mainitut), tällainen matka on mahdollista. Jos summa on suurempi kuin tämä luku, se on mahdoton.
Entä parillinen määrä siltoja? Tässä tapauksessa kaikki riippuu siitä, mistä aloittaa. Jos aloitat kohdasta A ja matkustat kahden sillan yli, A ilmestyy kahdesti ratkaisuusi. Jos aloitat toiselta puolelta, A ilmestyy vain kerran. Jos siltoja on neljä, niin A ilmestyy kolme kertaa, jos tämä kohta oli lähtökohta, tai kahdesti, jos sitä ei ollut. Yleisesti tämä tarkoittaa, että jos matka ei ala osasta A, se on ylitettävä kaksi kertaa niin monta kertaa kuin siltojen lukumäärä (neljä jaettuna kahdella antaa kaksi). Jos matka alkaa kohdasta A, sen on ristettävä vielä kerran.
Eulerin ratkaisun nero ei edes vastauksessa, vaan hänen käyttämässään menetelmässä. Se oli yksi aikaisimmista graafista teoriaa, joka tunnetaan myös nimellä verkkoteoria, erittäin kysytty matematiikan kenttä nykymaailmassa, joka on täynnä kuljetus-, sosiaalisia ja sähköisiä verkkoja. Königsbergin osalta kaupunki päätyi toisella sillalla, joka teki Eulerin päätöksestä kiistanalaisen, ja sitten Ison-Britannian joukot tuhosivat suurimman osan kaupungista toisen maailmansodan aikana. Nykyään sekä kaupungilla että joella on uudet nimet, mutta vanha ongelma elää täysin uudella matematiikan alalla.
Igor Abramov