Kuvaileessaan kvantti-ilmiöitä, teoria on toistaiseksi ylittänyt kokeilun, ettei ole mahdollista erottaa missä fysiikka loppuu ja matematiikka alkaa tällä alueella. RIA Novostin kirjeenvaihtaja puhui Dubnassa sijaitsevassa Ydintutkimuksen yhteisessä instituutissa (JINR) pidetyn kansainvälisen tiedekoulun osallistujien kanssa siitä, millaista matematiikkaa tarvitaan kvanttifysiikkaan ja mitä ongelmia kahden tiukimman tieteen edustajat ratkaisevat.
Koulu "Tilastolliset summat ja automorfiset lomakkeet" houkutteli noin kahdeksankymmentä nuorta tutkijaa ja opettajaa ympäri maailmaa, mukaan lukien Hermann Nicolai, Albert Einstein -instituutin johtaja (Saksa).
Sen järjestäjät kauppakorkeakoulun matematiikan tiedekunnan peilisymmetrian ja automaattisen muodon laboratoriosta korostavat, että johtavat tiedekoulut ovat aktivoituneet Venäjällä edustaen tutkimuksen eturintamaa monilla aloilla.
Matemaatikkojen menestys liittyy läheisesti teoreettisten fyysikkojen saavutuksiin, jotka etsivät uusia kvanttifysiikan ilmenemismuotoja. Tämä on kirjaimellisesti toinen maailma, jonka olemassaolon oletetaan olevan Newtonin ja Einsteinin todellisuuden ulkopuolella. Jotta voitaisiin kuvata johdonmukaisesti klassisen fysiikan lakien ylittämistä, tutkijat keksivät 1970-luvulla kieliteorian. Hän väittää, että maailmankaikkeutta voidaan arvioida ei pistehiukkasten perusteella, vaan kvanttijonojen avulla.
Jokaiselle koululaiselle tutut käsitteet "piste", "viiva", "taso" kvantimaailmassa hämärtyvät, rajat katoavat ja jousiteoria itse saa erittäin monimutkaisen sisäisen rakenteen. Tällaisten epätavallisten esineiden ymmärtäminen vaatii jotain erityistä. Nimittäin peilisymmetria, jota jousifyysikot ehdottivat 1990-luvun alkupuolella. Tämä on erinomainen esimerkki siitä, kuinka uudet matemaattiset rakenteet syntyvät fyysisestä intuitiosta.
Tavallisessa maailmassa tällainen symmetria esiintyy esimerkiksi silloin, kun näemme heijastuksemme peilissä. Kvantimaailmassa tämä on mittaamattomasti monimutkaisempi, abstrakti näkökulma, joka selittää kuinka kaksi eri näköistä teoriaa kuvaavat tosiasiallisesti yhtä alkuainehiukkasten järjestelmää vuorovaikutuksen eri tasoilla moniulotteisessa avaruus-ajassa.
Matemaatikko Maxim Kontsevich ehdotti vuonna 1994 matemaattisia ohjelmia fyysikkojen havaitsemien vaikutusten - homologisen peilisymmetrian hypoteesin - tutkimiseksi. Neljä vuotta myöhemmin hän voitti Fields-palkinnon, Nobel-palkinnon matemaattisesta maailmasta.
Venäjällä bulgarialaista amerikkalaista matemaatikko Lyudmila Katsarkovaa, joka on valmistunut Lomonosovin Moskovan valtionyliopiston mekaniikan ja matematiikan tiedekunnasta, kehotettiin kehittämään peilisymmetrian suunta. Venäjän hallitus tuki hänen hankettaan ja laboratorion perustamista HSE: lle vuoden 2016 lopulla mega-apurahaohjelmassa. Katsarkov, joka oli yksi Kontsevichin tekijöistä, houkutteli hänet työskentelemään.
Mainosvideo:
Intuitiosta todisteisiin
Suurin osa koulun luennoitsijoista työskentelee tällä dynaamisella kentällä, joka liittyy avaruus-ajan geometriaan ja kaksoiskenttään sekä jousiteoriaan, auttamalla suoraan tai epäsuorasti kvanttimaailman palapelin palauttamisessa. Yksi heidän tutkimuksen pääkohteista on erittäin suuret järjestelmät, jotka sisältävät äärettömän määrän hiukkasia. Näiden järjestelmien kuvaamiseksi termodynaamisessa tasapainossa fyysikot laskevat suureita, joita kutsutaan osio-funktioiksi.
Jakotukien peilisymmetria, Nekrasovin instanton-osiointitoiminnot ja muut joustoteoriaan ja kvanttikenttäteoriaan otetut käsitteet osoittautuivat matemaatikoille aivan uusiksi kohteiksi, joita he alkoivat analysoida mielenkiinnolla. Kävi ilmi esimerkiksi, että tilallisia summia on kätevä kuvailla käyttämällä automorfisia muotoja - erityinen toimintoluokka, jota on jo pitkään tutkittu lukuteoriassa.
Jokaiselle koululaiselle tutut käsitteet "piste", "viiva", "taso" kvantimaailmassa hämärtyvät, rajat katoavat ja jousiteoria itse saa erittäin monimutkaisen sisäisen rakenteen. Tällaisten epätavallisten esineiden ymmärtäminen vaatii jotain erityistä. Nimittäin peilisymmetria, jota jousifyysikot ehdottivat 1990-luvun alkupuolella. Tämä on erinomainen esimerkki siitä, kuinka uudet matemaattiset rakenteet syntyvät fyysisestä intuitiosta.
Tavallisessa maailmassa tällainen symmetria esiintyy esimerkiksi silloin, kun näemme heijastuksemme peilissä. Kvantimaailmassa tämä on mittaamattomasti monimutkaisempi, abstrakti näkökulma, joka selittää kuinka kaksi eri näköistä teoriaa kuvaavat tosiasiallisesti yhtä alkuainehiukkasten järjestelmää vuorovaikutuksen eri tasoilla moniulotteisessa avaruus-ajassa.
Matemaatikko Maxim Kontsevich ehdotti vuonna 1994 matemaattisia ohjelmia fyysikkojen havaitsemien vaikutusten - homologisen peilisymmetrian hypoteesin - tutkimiseksi. Neljä vuotta myöhemmin hän voitti Fields-palkinnon, Nobel-palkinnon matemaattisesta maailmasta.
Venäjällä bulgarialaista amerikkalaista matemaatikko Lyudmila Katsarkovaa, joka on valmistunut Lomonosovin Moskovan valtionyliopiston mekaniikan ja matematiikan tiedekunnasta, kehotettiin kehittämään peilisymmetrian suunta. Venäjän hallitus tuki hänen hankettaan ja laboratorion perustamista HSE: lle vuoden 2016 lopulla mega-apurahaohjelmassa. Katsarkov, joka oli yksi Kontsevichin tekijöistä, houkutteli hänet työskentelemään.
Intuitiosta todisteisiin
Suurin osa koulun luennoitsijoista työskentelee tällä dynaamisella kentällä, joka liittyy avaruus-ajan geometriaan ja kaksoiskenttään sekä jousiteoriaan, auttamalla suoraan tai epäsuorasti kvanttimaailman palapelin palauttamisessa. Yksi heidän tutkimuksen pääkohteista on erittäin suuret järjestelmät, jotka sisältävät äärettömän määrän hiukkasia. Näiden järjestelmien kuvaamiseksi termodynaamisessa tasapainossa fyysikot laskevat suureita, joita kutsutaan osio-funktioiksi.
Jakotukien peilisymmetria, Nekrasovin instanton-osiointitoiminnot ja muut joustoteoriaan ja kvanttikenttäteoriaan otetut käsitteet osoittautuivat matemaatikoille aivan uusiksi kohteiksi, joita he alkoivat analysoida mielenkiinnolla. Kävi ilmi esimerkiksi, että tilallisia summia on kätevä kuvailla käyttämällä automorfisia muotoja - erityinen toimintoluokka, jota on jo pitkään tutkittu lukuteoriassa.
Taiteilijan idea peilisymmetriasta. Kuva RIA Novosti. Alina Polyanina
Matematiikan vastakkaisesta vaikutuksesta teoreettiseen fysiikkaan on monia esimerkkejä.
”Työskentelin teorian luomista uudelle erikoisfunktion luokalle, nimeltään” elliptiset hypergeometriset integraalit”. Sitten kävi ilmi, että fyysikot vaativat näitä esineitä erityyppisenä tilastollisena summana”, kertoo matemaattis-fyysikko Vyacheslav Spiridonov JINR: n teoreettisen fysiikan laboratoriosta.
Spiridonov esitteli integraalinsä vuonna 2000, ja kahdeksan vuotta myöhemmin kaksi Cambridgen fyysikkoa tuli samoihin integraaleihin, laskettuaan superkonformaaleja indeksejä (tai supersymmetrisiä osiofunktioita) Seibergin kaksinaisuuden teorian puitteissa.
”Superkonformaalit indeksit ovat erittäin kätevä käsite kuvaamaan sähkömagneettisia kaksinaisuuksia, yleistämällä ilmiö, joka ilmeni ensin Maxwellin yhtälöissä (toistensa täydentävien fysikaalisten ominaisuuksien esiintyminen yhdessä ilmiössä. - Toim.). Rakennetun matemaattisen teorian avulla ennustimme uusia dualiteetteja, jotka fyysikot menettivät. Fyysikot ilmaisevat ajatuksia, saavat alustavia tuloksia, ja matemaatikot rakentavat absoluuttisen, systemaattisen analyysin: antavat määritelmiä, muotoilevat lauseita, todistavat antamatta taukoja ilmiön kuvaukseen. Kuinka monta muuta siellä on? Mitä fyysikot kaipasivat? Matemaatikot vastaavat näihin kysymyksiin. Fyysikot ovat kiinnostuneita kaikista matemaatikkojen luokittelemista kohteista”, Spiridonov sanoo.
Etsimässä kvanttipainoa ja supersymmetriaa
”Haluan ymmärtää kvanttipainoisuuden luonteen ja mustien reikien fysiikan, jos jousuteoria on oikein kuvaamaan luontoa. Tämä on motivaationi. Tätä varten sinun on laskettava fyysiset määrät ja verrattava niitä kokeiluun. Tosiasia on kuitenkin, että nämä ovat erittäin monimutkaisia laskelmia, ja siinä on monia matemaattisia ongelmia”, sanoo Pierre Vanhove Teoreettisen fysiikan instituutista (Saclay, Ranska), HSE-laboratorion assosioitunut jäsen.
Fyysikko, joka haluaa ymmärtää mitä tapahtui ennen isoa räjähdystä, tutkia mustan aukon kokoonpanoa, pakotettiin käsittelemään tilaa, joka on pakattu pisteeksi, minkä seurauksena sen geometria muuttuu huomattavasti. Suhteellisuusteoria ei pysty selittämään näitä esineitä, samoin kuin muita ei-klassisia ilmiöitä - tummaa ainetta, tummaa energiaa. Tutkijat arvioivat heidän olemassaolonsa epäsuorien merkkien avulla, mutta uuden fysiikan ilmenemismuotoja, mukaan lukien kvanttigravitaation merkit, ei ole vielä pystytty korjaamaan kokeessa - teoria, joka yhdistäisi yleisen suhteellisuusteorian ja kvanttimekaniikan. Neuvostoliiton fyysikko Matvey Bronstein oli lähtökohtanaan 1930-luvun puolivälissä.
Muuten, tutkijat tallensivat klassisen (Einsteinin teorian kannalta) gravitaatioaaltoja kokeiluun vasta vuonna 2015. Tätä varten heidän piti päivittää LIGO-ilmaisin merkittävästi. Jotta tunteisit painovoiman kvanttisen luonteen, tarvitset vielä suuremman instrumentin tarkkuuden, jota ei voida saavuttaa nykyisellä tekniikan kehitystasolla.
”Tällä hetkellä LIGO-mittaukset eivät anna pääsyä tähän uuteen fysiikkaan, siihen pääsy vie aikaa. Todennäköisesti aikaa vievä. Meidän on keksittävä uusia menetelmiä, matemaattisia työkaluja. Aikaisemmin meille oli saatavissa vain kiihdyttimiä etsimään uutta fysiikkaa, joista voimakkain on LHC, nyt toinen tapa on avoin - painovoima-aaltojen tutkimus”, Vanhov selittää.
Esimerkiksi havaitun maailman outojen selittämiseksi tutkijat ovat ottaneet käyttöön supersymmetriahypoteesin. Hänen mukaan kokeissa havaitsemillamme alkuainehiukkasilla on oltava kaksoset maailman "erilaisella" alueella. Yksi näiden kaksosien odotettavissa olevista ilmenemismuodoista on, että kevyin niistä muodostaa tumman aineen, eli se elää ympärillämme, mutta on saavuttamatta havainnointia varten.
”Supersymmetrian näkemiseksi sinun on ymmärrettävä hiukkasten rakenne paremmin, ja tämä vaatii vielä enemmän kiihdytinenergioita. Esimerkiksi, jos protonien törmäyksissä näemme tavallisten hiukkasten supersymmetristen kumppanien syntymän, niin mitä teemme, todella on olemassa. Tällä hetkellä CERN: ssä kiihdytin törmää hiukkasiin maksimienergialla, mutta supersymmetriaa ei ole vielä löydetty. Sen ilmenemisraja - Planckin energia - on ulottumattomissamme”, sanoo MISiS-tutkinnon suorittaneen Mimar Sinanin (Istanbul, Turkki) nimeämän valtion taiteellisen yliopiston matemaattisen fysiikan laitoksen johtaja Ilmar Gahramanov.
Supersymmetrian on kuitenkin oltava olemassa, Gahramanov uskoo, koska sen idea, sen matematiikka, on "erittäin kaunis".
”Kaavoja yksinkertaistetaan, jotkut ongelmat katoavat, monet ilmiöt voidaan selittää tällä teorialla. Haluamme uskoa sen olevan olemassa, koska supersymmetria-ajatukset antavat meille mahdollisuuden saada mielenkiintoisia tuloksia muihin teorioihin, jotka ovat kokeellisesti testattavissa. Toisin sanoen siinä syntyvät menetelmät, tekniikka ja matematiikka siirretään muille alueille”, tiedemies sanoo.
Puhdas matematiikka
Yksi tällainen alue, joka kehittyy joustoteoriassa muotoiltujen ongelmien ansiosta, on kuuvuositeoria.
"Moonshine" tarkoittaa englanniksi sekä unissakävelyä että hulluutta ", sanoo John Duncan Emoryn yliopistosta (USA).
Selvyyden vuoksi hän näyttää puheessaan yleisölle valokuvan verenpunaisesta kuusta Akropoliksen yläpuolella, joka on otettu 31. tammikuuta pidetyn superkuun aikana. Duncan sai koulutuksensa Uudessa-Seelannissa ja tuli sitten Yhdysvaltoihin jatkamaan tohtorin tutkintoa. Tapaamansa siellä, entinen Neuvostoliiton matemaatikko Igor Frenkel päätti puuttua Munshine-teoriaan (käännettynä venäjäksi "hölynpölyteoriaksi"), joka rakensi siltoja "hirviön" - suurimman äärellisen poikkeuksellisen ryhmän symmetrioiden - ja muiden matemaattisten kohteiden välillä: automorfiset muodot, algebralliset käyrät ja vertex algebrat.
”Jousteoriasta tuli erittäin syviä matemaattisia ideoita, jotka muuttivat geometriaa, Lie-algebran teoriaa, automorfisten muotojen teoriaa. Filosofinen käsite alkoi muuttua: mikä on avaruus, mikä on monimuotoisuus. Uutta tyyppisiä geometrioita, uusia invarianteja ilmestyi. Teoreettinen fysiikka rikastuttaa matematiikkaa uusilla ideoilla. Aloitamme heidän kanssaan työskentelyn ja palautamme sitten ne takaisin fyysikoille. Itse asiassa matematiikkaa uudistetaan nyt, kuten tapahtui jo XX vuosisadan 20-30-luvulla kvantimekaniikan kehityksen jälkeen, kun kävi selväksi, että matematiikassa on muitakin rakenteita, joita ei ole ennen nähty , sanoo Lillen (Ranska) yliopiston professori Valeri Gritsenko.) ja HSE.
Gritsenko harjoittaa puhdasta matematiikkaa, mutta fyysikot vaativat hänen tuloksia. Yksi hänen suurimmista saavutuksistaan, joka on saatu yhdessä matemaatikon Vjatšeslav Nikulinin kanssa, on äärettömän ulottuvuuden automorfisen hyperbolisen Kats - Moody-algebran luokittelu, joka on löytänyt sovelluksen jousiteoriassa. Herman Nicolai piti luentonsa kuvauksessa erityisestä hyperbolisesta Kats-Moody-algebra-tyypistä E10, joka väittää olevan kaikkien luonnon fyysisten symmetrioiden yhtenäistäjä.
Huolimatta siitä, että kieliteoriassa, supersymmetriassa ja kvanttigravitaatiossa ei ole kokeellisia ilmenemismuotoja, tutkijat eivät vain hylkää näitä käsitteitä, vaan päinvastoin jatkavat niiden aktiivista kehittämistä. Joten "Ei geometria, älä anna hänen tulla!" - Platonin akatemian tunnuslause, joka on muotoiltu kaksi ja puoli vuosituhatta sitten, on ajankohtaisimmin teoreettisen fysiikan kannalta.
Tatjana Pichugina